有理?無理? 數學首次 鬧人命

文/鍾邦友  |2021.08.06
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在數學裡,凡是可以被表示成為兩個整數的相除結果者,稱為「有理數」,例如整數或分數;根號2或圓周率π都是不循環的無窮小數,無法被表示成分子、分母皆為整數的分數形態,則是所謂的「無理數」。這看似簡單的數學原理,在歷史上竟然發生了一件可怕的謀殺事件!圖/樹下繪本

文/鍾邦友

在數學裡,凡是可以被表示成為兩個整數的相除結果者,稱為「有理數」,例如整數或分數;根號2或圓周率π都是不循環的無窮小數,無法被表示成分子、分母皆為整數的分數形態,則是所謂的「無理數」。這看似簡單的數學原理,在歷史上竟然發生了一件可怕的謀殺事件!

西元前五百年左右,是數學家也是哲學家的畢達哥拉斯(Pythagoras)創立了一個帶著神祕宗教色彩的組織。這個學派的人信奉「萬物皆數」,認為宇宙間各個關係都可以用正整數與其比例,也就是使用「有理數」來表達,數字是美麗和諧、精確可控制的。

當時的人會有這種想法,是因為在任何兩個有理數之間,必定有另一個有理數存在;如1和2之間,必然其平均數3/2存在,以此類推,數字永遠無法窮盡。他們那時不知道有理數之間,還有不能被分數表達出來的「縫隙」,即無理數的存在。

兩股長1 生無理數



另外,著名的「畢氏定理」,即直角三角形斜邊長的平方,等於兩股平方和,也是畢達哥拉斯在數學史上最重要的發現之一:當兩股長為3與4,則斜邊長為5,此時三角形的三邊長自然都是整數。但是畢達哥拉斯的一位學生希帕索斯(Hippasus),發現若兩股長為1與1時,斜邊長卻是無法以分數表示的根號2,這樣一來就跟自學學派所說的「所有的數都是有理數」自相矛盾!

以現在的觀點來看,科學的真理愈辨愈明,這樣的發現當然是一件好事。可是當時的社會環境非常封閉,畢氏學派的人,生怕這件事會動搖一般人對他們的信仰與尊敬,便下令所有的人都不准走漏消息,但希帕索斯無意中對外人說出了這個驚天動地的大祕密,最後竟然被以「褻瀆神明」的罪名扔到愛琴海裡!

發現無理數的人被謀害了,但科學的真理卻不能被消滅。這個事件被稱為科學史上的第一次數學危機。直到1872年,德國的數學家戴德金(Julius Dedekind)用「有理數的分割」,建立無理數的概念,並把有理數和無理數合成了「實數」的理論,才重新為無理數建立起應有的科學地位,也成功解除這場歷經兩千多年的數學危機。

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