天南地北聊數學 0.999…真的等於1嗎?

文/維尼老師 |2022.03.10
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我們生活中最常用到的數字應該是整數,比方一天24小時、今年18歲、數學考了93分、中午吃麵花了90元等等。除了整數外,我們在生活裡也常用到分數和小數,其中分數常用來表達比例或機率,比方有2/3的人同意、有1/100的中獎機會等;而小數用來表示一些不是整數的數量,比方距離3.8公里、身高1.7公尺等等。 圖/River

文/維尼老師

我們生活中最常用到的數字應該是整數,比方一天24小時、今年18歲、數學考了93分、中午吃麵花了90元等等。除了整數外,我們在生活裡也常用到分數和小數,其中分數常用來表達比例或機率,比方有2/3的人同意、有1/100的中獎機會等;而小數用來表示一些不是整數的數量,比方距離3.8公里、身高1.7公尺等等。

分數和小數雖然寫法上差異很大,但它們其實可以互換,比方1/2=0.5、2/3=0.666…。發現沒?當分數變成小數時,有時可以很明確簡潔地表達出來,像1/2=0.5;但像2/3=0.666…,小數點後的6沒完沒了的一直重複下去,這種小數叫做「循環小數」,可以寫成「0.6」,6為循環節,表示6不斷循環。依此類推,3.25=3.252525…、10.2108=10.2108108…等等。

問題來了,要把分數變成小數很簡單,直接除除看即可,但是反過來,給你一個循環小數,要怎樣變回分數呢?比方上面寫的3.25,怎樣用分數形式來表示呢?

方法是這樣的:假設x=0.25,循環節有2位就乘上100,得到100x=25.25,接著後式減前式:100x-x=25.25-0.25=25,看見沒?討厭的循環節消失了!得到99x=25,因此x=,把3放回來,就得到3.25=3。

再試試10.2108:假設x=0.2108,循環節有3位就乘上1000,得到1000x=210.8108(讓循環節相同且對齊),接著後式減前式:1000x-x=210.8108-0.2108=210.6,得到999x=210.6,因此x==,所以10.2108=10。

最後回到標題的問題:0.999…也就是0.9,真的等於1嗎?我們用同樣方法算算看,假設x=0.9,循環節只有1位,所以乘上10,得到10x=9.9,後式減前式:10x-x=9.9-0.9=9,得到9x=9,因此x=1完全正確呀!

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