【天南地北聊數學】 比例尺與影印機的縮放倍率

文/維尼老師  |2022.08.11
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圖/River

文/維尼老師 

相信大家都看過地圖吧?不管是世界地圖、台灣地圖或是更小的鄉鎮地圖,甚至是電腦上的google地圖,都是把實際上的大空間,縮印在紙上或呈現在螢幕上,方便於攜帶、觀看相關的地理資訊。但是依據地圖所呈現的實際範圍大小,每張地圖所縮小的比例是不一樣的,為了讓使用者了解這張地圖和實際空間之間的比例關係,在地圖上都會標示比例尺。

一般地圖的比例尺有三種標示方式:(1)比例法,如1:30000(2)比值法,如 ■ (3)刻度法 。

前兩種方法表示地圖是實際空間的三萬分之一縮小版,也就是地圖上的1公分,實際上是3萬公分,也就是0.3公里。而第三種方法,每一段黑、白刻度都是1公分,也就是地圖上的3公分等於實際的1.5公里。換算一下,1公分等於0.5公里=50000公分,所以這張圖的比例尺是1:50000。電腦上的google地圖也是使用第三種方式,但因google地圖可以縮放,所以比例尺會不斷變動,我們可以在螢幕右下角看見這樣的標示:

,這表示圖上這樣的長度實際上是500公尺。

說到比例尺,有個非常重要的觀念,大家經常誤解。舉例來說,如果在一張1:50000的地圖上有座面積9平方公分的湖泊,你認為它的實際面積會是多少呢?是9×50000=450000平方公分=45平方公尺嗎?那就錯了!比例尺代表的是空間中一維的線性關係,面積是二維的,因此換算面積時,必須將比例尺乘兩次,也就是說這座湖泊的實際面積是9×50000×50000平方公分=2250000平方公尺=225公頃才對!

生活中常用的影印機也是相同道理。影印機除了可以1:1影印之外,還可以放大、縮小,假設在一張紙上畫了一條10公分的直線,當你用120%的放大倍率去影印的話,印出來的紙上的直線會變成10×120%=12公分。但是,如果原本紙上有個面積10平方公分的圓,同樣以120%的放大倍率去影印,印出來的圓的面積就不是10×120%=12平方公分了,應該是10×120%×120%=14.4平方公分,也就是影印機的縮放倍率,指的也是一維的線性關係,縮放二維的面積時必須平方計算。

依此類推,像現在的3D列印,可以將小模型立體放大,那麼將一顆小球放大500%的話,體積是三維的,因此體積會變成原來的500%×500%×500%=125倍唷!

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