碎形 無所不在

文/檸檬  |2022.09.20
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圖/琪琪

文/檸檬 

炎炎夏日,走出家門口,抬頭向上看,無垠的藍天裡有著幾朵白雲;往山裡走,翠綠布滿整座山頭;往海邊走,尺寸不一的大石頭、小石頭填滿整個岩岸。咦?大自然裡最常見的形狀是什麼呢?白雲像橢圓形嗎?樹木像三角形嗎?海岸線像是直線嗎?說像又不那麼像,似乎說不出個最適合的形狀名稱,認真說起來,這些都是「碎形」。

碎形的英文是fractal,意思是零碎、破裂。最初在17世紀時,數學家萊布尼茨(Leibniz)提出過「碎形」的概念,但當時此概念尚未完備,後來也有其他數學家提出相關的說法。例如,在1904年,瑞典數學家海里格‧馮‧科赫(Niels Fabian Helge von Koch)繪製出一個名為「科赫雪花」的圖形,是極具代表性的碎形。直到1960年代,法裔美國數學奇才本華‧曼德博( Benoit Mandelbrot))在英國數學家路易斯(Lewis Fry Richardson)的研究基礎上,於1975年提出了「碎形」一詞,曼德博終其一生都在研究碎形,他堅定的相信著宇宙間一定有描述不規則形狀的幾何學,可是要從「一沙」形容或是定義「一世界」呢?

自我相似 重複結構

碎形最重要的概念是「自我相似」,從自我無限延伸出去,可以分成無數個「小的自我」,每個「小的自我」和原本的「自我」都極為相似,簡單來說就是「自我整體縮小後的形狀」。在大自然中常見的海岸線、樹幹樹枝、蕨類、雪花、雲朵的邊緣甚至是閃電都是碎形。他們的相同處都是結構上一層又一層類似的重複著,可以無限的延伸,每一個小結構都和原本的結構相似,由此可見,大自然多數的複雜結構都可以以碎形來解釋形容。

那麼,碎形只存在於自然中嗎?低頭往自己的身體看,在你我的身體裡,碎形的結構遍布全身。

碎形領域 包羅萬象

大動脈會分岔、分支出小動脈,小動脈又會分岔並分支出微血管,不斷的重複一樣的結構,看似複雜的這些血管結構,占了身體空間的5%不到,卻在我們的身體中扮演極重要的角色。看看人體內的肺臟,每個人的肺臟內約有5億個肺泡,每個肺泡的直徑約為0.2毫米,以此可以估算出肺泡的總面積是70平方公尺(約21坪多),小小的肺臟裡能夠發展出如此細微精密的結構,和碎形不無關係,運用碎形的規則,就能輕易的將龐大複雜的結構收納到有限的空間中。這是碎形在醫學上的應用,那麼還有其他地方會用到碎形嗎?當然有,碎形觀念已經拓展到許多的領域,如藝術、音樂、經濟、氣象學甚至是天文學中的星體分布。

碎形概念被提出後,人們經常試圖利用此概念來找出某種規則性,進而解決某些問題,例如放大照片,一張小尺寸的照片可以經由電腦執行數學公式,把各個部位重複執行複製、放大最後就可以拼出一張大尺寸的照片了。電腦動畫也可以利用到類似的概念,甚至有人因為發表了碎形理論在電腦繪圖上的應用研究,而進入了有名的皮克斯動畫工作室工作,很神奇吧?下次,當我們在海邊、山上散步時,也可以找找哪裡有碎形的存在唷!

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