【天南地北聊數學】七橋問題與一筆畫號的由來

文/維尼老師 |2022.09.22
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圖/維尼老師
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靠近波羅的海,有一個屬於俄羅斯聯邦的加里寧格勒州。這座城市在第二次世界大戰之前,叫做哥尼斯堡。

在哥尼斯堡,有一條普列戈利亞河貫穿了哥尼斯堡的市區。在這條河的中央有一座小島——內福夫島。十八世紀時,島上共有七座橋跨越普列戈利亞河,連接了小島與其他區域。

當時的人們最喜歡挑戰一件事——七橋問題:有沒有辦法一次走完七座橋,而且每座橋只經過一次?結果,不管什麼人來挑戰,也不論嘗試了多少次,從來沒有一個人成功!許多學者思考這個問題,卻同樣一籌莫展!1735年,有幾名大學生寫信給任職於聖彼得堡科學院的瑞士大數學家歐拉,希望他幫忙解決這個問題。歐拉知道這個問題後,並不是莽莽撞撞的像一般人一樣去嘗試尋找符合條件的走法,反而逆向思考:既然那麼多人不斷嘗試都無法成功,會不會七橋問題根本就無解?

歐拉憑藉著深厚的數學底子,把七橋問題做了一個轉換:將四個區域變成A、B、C、D 4個點,而七座橋就變成了連接這4個點的7條線。

這樣一來,能不能不重複的一次走完七座橋的問題,藉著歐拉的天才巧思,轉換成能不能在筆不離開紙的情況下,一筆畫出這個圖形的問題。歐拉認真研究後發現:一個可以一筆畫出的圖形,圖上的任何一個交點,應該都有偶數條線經過。為什麼呢?因為只要有進來的線,就必須有出去的線,如此才能筆不離紙的順暢畫完所有線。像這種有偶數條線經過的點,歐拉把它叫做「偶點」。但是有一種情況,有的點會有奇數條線經過,那就是當頭尾沒有連接在一起,也就是起點和終點在不同地方的時候,這兩個點就會有奇數條線經過(因為起點的第一筆沒有進來的線,終點的最後一筆沒有出去的線),這種點叫做「奇點」。

歐拉研究到這兒,得到一個非常簡單明白的結論:一個可以一筆畫的圖形,只能有0個或2個奇點,0 個奇點就是頭尾相接的圖,2個奇點就是頭尾分開的圖。除此之外,有其他數量奇點的圖,都不可能一筆畫出。有了這個結論,七橋問題立刻迎刃而解,因為圖中的A、B、C、D 4個點全都是奇點,所以這個圖很明顯的無法一筆畫出,因此,希望不重複的一次走完哥尼斯堡七橋,是絕對不可能的事啊!

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