丟番圖謎題

文/檸檬 |2022.11.07
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圖/克拉克
圖/克拉克

文/檸檬

日常中,偶爾會遇到這類問題,小華、阿德和小美3個人去看電影,買了一份小的爆米花90元,和3張電影票,共花了990元,請問一張電影票多少錢?通常會有兩種解法,第一種是990-90=900,900÷3=300,第二種解法是設一元一次方程式,設一張電影票為X元,3X+90=990,解出X=300,以上兩種解法都可以簡單快速求出每張電影票為300元。然而,當要求的未知數多了以後,用第一種解法的難度就會相對增加,只好採用第二種方法,而第二種方法便是最基礎的代數學。

代數鼻祖  符號算數

說起代數學,不能不提的是被譽為「代數之父」的丟番圖(Diophantus of Alexandria,西元200-284年),他是古希臘亞歷山大港的數學家,在他眾多著作中有一本《數論》(Arithmetica,也有部分人譯作算術),這本書是史上談論代數的第一部重要著作,丟番圖在書中用符號代表未知數,書中還出現了表示相等的符號(不過不是這個「=」)。這本書對希臘數學有極大的影響以外,也對阿拉伯數學及後來的西方數學也有重大的影響。

然而書中許多內容至今早已遺失,留存下來的部分內容則在不同時代影響當代最偉大的數學家,其中一位就是17世紀時的法國數學家:皮埃爾.德.費馬(Pierre de Fermat),尤其是後來的費馬大定理(費馬最後定理)Xn+Yn=Zn(當n>2時,無正整數解)便是受此書的影響。

程式演變  釐清題目

丟番圖的一生成謎,關於丟番圖最有趣的部分是在一本《希臘詩文選》(The Greek anthology)中收錄了一篇具有數學謎題性質的《丟番圖墓志銘》:

墳中安葬著丟番圖。

多麼令人驚訝,

它忠實的記錄了丟番圖所經歷的道路。

上帝給予的童年占六分之一,

又過十二分之一,兩頰長鬍,

再過七分之一,點燃起婚姻的蠟燭。

五年之後天賜貴子,

可憐遲到的孩兒,享年僅及其父之半,

便進入冰冷的墓。

悲傷只有用數論的研究去彌補,

又過四年,他也走完了人生的旅途。



你能算出丟番圖活了多少年嗎?如果將丟番圖的年紀設為X,可以列出方程式求解一元一次方程式:X/6+X/12+X/7+5+X/2+4=X,也可以像前文一樣逆推回去,1-1/6-1/12-1/7-1/2=9/84,9÷9/84=84,求得丟番圖為84歲。

我們可以得知數學的求解通常不僅有一種方法,而代數方程式的出現可以釐清題目,將難懂的文字以簡單的符號和數字表示,也因此代數方程式的出現,讓僅能以文字表示的數學變得更簡單了,而且我們能解的問題範圍,也就跟著變深變廣了。

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