爬樓梯有學問

文/鍾邦友  |2023.12.08
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圖/123RF

文/鍾邦友 

如果有一個樓梯共有5階,融融一步跨1階或2階,則他上樓梯的方法共有幾種?這是數學裡有關「排列組合」的問題,要解這個問題並不難,只要把所有可能的情形都列出來,就能找到答案,但是你知道除了一個一個找答案以外,還可以用別的方法來思考嗎?

排列組合 分類分階



我們先來看看一個個找答案的方法,如融融是不是可以全部都跨1階?這便是其中的一種方法。接著1階只走兩次是否可行?答案是否定的,因為會剩下3階,基於奇偶數的問題,5步均為1的方法之後,接下來1階的肯定只能再走3次,並加上2階的1次,最後1階的只1次,並加上2階的2次。

不過到這裡並沒有找齊所有的答案喔,我們可以把目前找到的答案簡單列出來——11111、1112、122,除了11111就是一種答案以外,1112、122這兩種都有先走1階或2階的問題,像2111、1211、1121、212、221也是順序不同的其他解法,所以最後共有8種方法。

費氏列數 演算相符



另外,因為題目的限制是一步跨1階或2階,所以到了第3階肯定是從第1、2階踏1步或2步所得來的累計結果,第4階則是第2、3階踏1步或2步所得的累計結果,依次類推,即從第3階開始一直到5階,都是前兩階的累計結果,這邊應用的是著名的「費氏數列」觀點:「1、1、2、3、5、8、13……」,即頭兩項均為1,第3項開始都是前兩項之和。

這個數列是由義大利數學家費波那契在他的《算盤書》中提出的,不過我們這邊第1階是1種走法,但第2階則有兩個1步1階及一個2步1階等兩種方法,第3階則是1+2=3,第4階則是2+3=5,第5階則是3+5=8,最後算出來的方法和一個個找答案的方法一模一樣,是不是很有意思呢?

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