質因數分解是超強守門員？

THE MERIT TIMES

文／檸檬　 2023-06-08

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圖／樹下繪本

文／檸檬　

數學是一門「玩數字」的學科，我們可以透過不同的方法將0～9的數字經過各種運算、排列、組合……產生一些有趣並能在其他領域上派上用場的結果。而「質因數分解」就是其中一種。

「質因數分解」的起源可以追溯到古希臘數學家歐幾里德所著的《幾何原本》一書。在這本書中，歐幾里德提出算術基本定理：每個大於1的正整數，會有兩種狀況：自己就是質數；該數可以寫為2個或以上的質數的積，而且這些質數由大到小排列之後，僅有一種寫法可以表示。而這找出這些質數的方法正是藉由「質因數分解」。

質因數積

組成整數

「質因數分解」是一種能將一個正整數，表示成其質因數的「積」的方法。質因數是指只有1和它本身能夠整除它的正整數，例如2、3、5、7等。透過質因數分解，我們可以找出一個正整數的所有因數，並將其表示成質因數的積，以方便計算和分析。

我們實際舉例算算看，例如，我們要將數字36分解成質因數的乘積，我們必須透過質因數分解：

首先我們可以找到36的因數，分別是1、2、3、4、6、9、12、18、36。但這些因數並非全都是質數，因此我們需要進一步進行分解。

我們找到最小的質數，也就是2。因為36可以被2整除，所以我們可以把36分解為2和18的乘積，即36=2×18。

我們繼續對18進行質因數分解。18可以被2整除，因此我們可以把18分解為2和9的乘積，即18=2×9。

我們繼續對9進行質因數分解。9可以被3整除，因此我們可以把9分解為3和3的乘積，即9=3×3。

最後，我們可以得到36=2×2×3

×3，這就是36的質因數分解式。根據算術基本定理，我們可以寫成36=22×32，這樣36就被分解成了兩個質因數的乘積。

大數組成仍賴分解

質因數分解可以應用在許多地方，例如：加密演算、數據壓縮、分數簡化和數論研究等。其中的數據壓縮就像是把體積龐大的物體變小，可以節省存儲空間或者網路傳輸的時間。實際舉個範例來看，假設我們有一串數字序列：2,2, 2,3,5,7,7,7。我們利用質因數分解來壓縮這些數字。2出現了3次，所以我們可以把它表示為2的3次方，也就是23。接著，3和5各出現了1次，我們可以分別表示為3和5。最後，7出現了3次，也就是73。這樣一來，我們把原本的數字序列用質因數的表示方式來儲存，得到的壓縮後的序列就是23,3,5,73。這樣做既節省了儲存空間，又保留了數據的完整性，並提高效率。數據壓縮的應用很廣泛，對於我們日常使用的電腦和網路都很重要。

在學習質因數分解的過程中，透過一些簡單的範例，我們可以理解質因數分解在許多領域上、就像是足球場上的超級守門員一般，是球隊防守的支柱，更是球隊舉足輕重的人物唷！

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