卡爾達諾破解三次方程式博學奇才

THE MERIT TIMES

文／張瑞棋 2024-01-04

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圖／樹下繪本

文／張瑞棋

文藝復興時期的義大利，出現許多橫跨不同領域的博學之士，其中最具代表性的無疑是達文西，他在藝術、建築、數學、科學、工程、解剖學……各方面都有傑出成就。晚達文西半世紀出生的卡爾達諾（Girolamo Cardano）知名度沒那麼高，卻也是位在多個領域做出卓越貢獻的奇才。

卡爾達諾於1501年9月24日在義大利北部的帕維亞出生，父親是位精通數學的律師，也是達文西的好友。卡爾達諾能出生長大就是一項奇蹟，他出生幾個月後逢黑死病橫行，3個哥哥與奶媽都因此病故，唯獨他撐了過來，但臉上留下難看的肉瘤，從此也體弱多病。

賭博法則贏得經濟

或許是因為自身經歷，卡爾達諾一心想學醫，但父親卻堅持要他當律師，倘若不從，就一毛錢都不給他。卡爾達諾為了賺取學費與生活費，便將腦筋動到骰子與紙牌的賭博上。當時大家都以為這完全是靠

運氣，但他卻領悟出不同的

骰子點數或牌型組合所出現的機會，其實遵循著一定的法則，因此他總能根據較高的勝率下注，結果這竟成為他長期的經濟來源。

卡爾達諾在大學時也對數學和自然哲學產生了興趣，因此1526年畢業後，一邊行醫，還一邊研究數學與各種機械原理。1535年，兩位義大利數學家的比試受到各方矚目，也引起卡爾達諾的注意。

歐洲地區在12世紀就已經得知二次方程式的一般解（就是我們都背過的公式“2a分之負b加減根號b平方-4ac”），但三次方程式的解法卻一直無法破解。1515年，達爾費羅（Scipione del Ferro）找出ax3+bx=c這種類型的解法，但他並未對外公布，只傳給他的女婿以及弟子費奧雷（Antonio Maria Fiore）兩人。

破解程式一舉成名

1535年，費奧雷聽說塔爾塔利亞（Niccolò Tartaglia）解出某種三次方程式，便向他提出挑戰，雙方各出30題三次方程式，看誰在限時內解出最多題。費奧雷仗著握有老師祕傳的公式，便故意都出這種題型，自信滿滿地要藉此一戰成名。沒想到，塔爾塔利亞竟然迅速解出所有題目，而費奧雷卻解不出塔爾塔利亞的題目，狼狽慘敗。

這是史上首度有人公開解出數種三次方程式的題目，塔爾塔利亞因此聲名大噪。

卡爾達諾正在編寫數學著作，想將三次方程式的解法也納入書中，便在1539年邀請塔爾塔利亞前來作客，答應將他引介給王公貴族（卡爾達諾的確因為醫術高明，受到許多權貴倚重），成功哄他說出解法，並承諾守密不宣。

卡爾達諾了解塔爾塔利亞的解法後，大受啟發，將尚未解出的其它類型三次方程式也都一併解出，他的弟子費拉里（Lodovico Ferrari）更進一步找到某種四次方程式題型的解法。隨後卡爾達諾得知塔爾塔利亞的解法更早之前就由達爾費羅發現，覺得沒有繼續守密的必要，便在1545年出版的《大術》中，公開三次方程式與部分四次方程式的一般解法。

《大術》一出版，立刻轟動歐洲數學界。雖然卡爾達諾在書中如實提及達爾費羅與塔爾塔利亞兩人的貢獻，但大家仍將三次方程式的一般解稱為「卡爾達諾公式」。塔爾塔利亞當然氣瘋了，不斷抨擊卡爾達諾背信忘義，竊取自己的成果。費拉里為了捍衛師父的聲譽，出面和塔爾塔利亞比試數學，結果塔爾塔利亞一敗塗地，最後於1557年抑鬱而終。

卡爾達諾在《大術》中還展現其它原創性，包括首度用負數進行運算、首度提及虛數。此外他為了賭博而寫下的祕笈，比巴斯卡和費馬更早論及機率，堪稱史上第一本機率理論的著作。

卡爾達諾在1570年蒙受牢獄之災，他因為用星象學推算耶穌的命盤而被指為異端，鋃鐺入獄，不過他的著作全被教會列為禁書，只有醫療方面的書籍可以出版。卡爾達諾在1576年過世前，索性將尚未出版的170篇手稿全都燒掉；從他已經問世的發現與發明來看，不禁讓人想像這些手稿若能流傳下來，歷史上會不會多一位堪比達文西的科學奇才？

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