古文明與數學

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文／瑢瑢 2023-05-19

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圖／琪琪

文／瑢瑢

如果說語言是人們彼此溝通的管道，那麼數學，就是人們用以理解宇宙的運作，以及解決生活問題的方式。今天我們所學的數學是全球通用，然而早期，世界各地的古文明都有一套自己的數字系統，沒有像今天這樣好用的阿拉伯數字和十進位制，現代人用一道簡單算式就能解決的數學題，以前的人可能要寫滿一塊石板才能解出呢！

萬能雙手記數基礎

先來說明「進位」的概念。舉例來說，小朋友經常用十根手指頭來數數，那麼，當十根手指都用完之後呢？就要「進」一個「10」之後，再重新從「1」開始數了，這便是十進位；如果用的是一隻手的五根手指，則數滿「5」之後就要進位並重新計算。同樣的數目在不同的進位系統下，會有不同的表現方式，在十進位下的「6」，用五進位要寫成「11」。萬能的雙手是人類最自然的古老記數工具，四大古文明中的埃及、中國和印度數學，都是以十進位為基礎；不過，兩河流域的蘇美和巴比倫卻以十二進位和六十進位為主，這在計算時間、角度和曆法時更加方便。至於馬雅人採用的二十進位系統，可能是計數時加入了雙腳的腳趾。

數學起源於何時呢？一分寫於莎草紙上的埃及文獻讓我們知道，早在距今約4000年前，數學已經是埃及統治者丈量面積、計算稅收和分配糧食的必要工具了。埃及的數字建立在象形的基礎上，使用十進位卻沒有「位值」概念，也就是10、100和1000等數字各有各的符號，而不是透過不同的位置來表現。他們也有分數，但基本上都是以「1」為分子。例如，「2/5」這個分數，他們會寫成「1/3+1/15」。儘管運算起來極為不便，卻足以解決他們在生活中遇到的實際需求。

中國古代的記數工具，是一種長約12公分的小竹片或木棍，稱作「算籌」，利用算籌進行的運算稱為「籌算」，透過橫、豎兩種擺法來表現正數，加上斜棍則表示負數，搬動籌棍就能方便地進行加法，也能利用九九表進行四則運算和乘方、開方，是具有位值概念的十進位系統。

零的具象數學創舉

儘管各地古文明的數學都有「零」的概念，不過埃及人將零獨立於數字系統之外，中國人則用空位來代表。「零」真正擁有具體的形象，以及和其他數字平等的地位，是來自古印度。印度數學家婆羅摩笈早在西元628年的著作《婆羅摩曆算書》中，將零納入運算系統中，這種將「沒有」視為「存有」的觀念，可說是數學史上的一大創舉。

現在人普遍使用的阿拉伯數字，其實也是源於古印度。阿拉伯數字只有「0123456789」10個符號，透過由右向左的「位值」，卻可以表現出無窮大的數。當阿拉伯人征服印度時，吸收了這套方便好用的系統來做生意，之後再將這套系統傳到歐洲，歐洲人還以為這套數字是阿拉伯人發明的，其實應該稱為印度數字才對呢！

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