數字有形狀

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文／檸檬 2023-04-20

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圖／Julia Chou

文／檸檬

西元前6世紀的古希臘數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）在研究數的概念時，經常喜歡在沙灘上用小石頭排出數字，就像我們一般人到海灘邊玩耍時那樣，會疊石頭、排形狀，只不過我們就只是單純的「玩」，畢達哥拉斯和其他研究者會進行分類或不同的排列組合，就這樣排著排著，許多有趣的定理、概念就形成了。

石頭造形美好形數

大家都知道，3顆小石頭就能排成一個正三角形，那比這個大的正三角形，最少需要幾顆石頭呢？答案很簡單，第一排1顆、第二排2顆，再加上第三排的3顆，總共是6顆。那麼下一個三角形呢？聰明的大家應該都知道了，再更大一點的三角形，第四排會是4顆，6＋4＝10，總共需要10顆石頭。依此類推，大家可以推論出接下來的三角形需要幾顆石頭，不過，這些石頭代表什麼呢？這些石頭在畢達哥拉斯學派中扮演著重要的角色，石頭的數量相當於數字，而這些能被排成三角形的數字，被稱為形數（figurate numbers）也稱為「三角形數」。在畢達哥拉斯的研究中，前10個三角形數當中的第四組數，希臘語稱為「四元體」（tetraktys）扮演著核心的重要部分。在著名的義大利畫家兼建築師拉斐爾的畫作《雅典學院》（見下圖）中，可見其重要性，畫作左下方的圖，就是畢達哥拉斯正在向學徒說明他的形數理論，而他認為美好的數字——三角形數，尤其是「最美好的」神聖四元體，就呈現於書寫版的下方，並排列成金字塔的形狀。

用點延伸相關理論

而金字塔上的點分別代表數字1到10，每一排則代表空間的維度和不同系統的概念。第一排，一點（象徵數字１），零維。第二排，兩點（加上第一排的點，1+2＝3）恰好是組成一直線的最少元素，一維。第三排（加上第一、二排的點，1+2＋3＝6），由三點形成一個三角形，也就是平面。第四排，四個點（加上第一、二、三排的點，1+2＋3＋4＝10）能形成一個四面體，三維。所以，畢達哥拉斯的神聖四元體所呈現的金字塔，第一排為1、第二排為3、第三排為6，第四排為10。

回到形數在數學中扮演的重要角色，畢達哥拉斯等人喜歡將數字用點來代表，而這些點在等距排列下可以排成正三角形、正方形、或其他正多邊形，並且從中發現許多有意義的數學關係。而三角形數的研究可以追溯至「費馬多邊形定理」。而在後來瑞士數學家歐拉（Leonhard Paul Euler）更提出一個明確的公式n(n＋1)／2，以這個公式就可以算出所有的三角形數，這也是屬於形數的相關理論之一。

在許多情況下，形數的呈現會讓幾何看起來既簡單、有規律且美麗，有許多數學的意義和定理在這樣的呈現下，幾乎不需要任何文字的說明，一看就能理解。例如剛剛提到的「歐拉公式」，下一次我們到沙灘邊玩水的時候，也可以試著排排石頭，立刻能理解這個公式唷！

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