【天南地北聊數學】高斯與等差數列求和

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文／維尼老師　 2023-05-25

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圖／River

文／維尼老師　

生活中經常出現隨機的數字序列，最明顯的例子就是樂透中獎號碼。比方某一期的大樂透中獎號碼是：7、11、16、20、27、42，這完全是隨機開出的六個獎號，沒有任何規律，也無法藉此預測下一期的獎號。在數學上，像這樣一堆數字排成一列，就叫「數列」。數學家對於毫無規律的數列不感興趣，因為無法歸結出一個通式；他們喜歡研究具有規律性、數與數之間有特定關係的數列，其中最簡單也最基本的就是等差數列。

所謂等差數列，就是從數列的第一個數（稱為「第一項」）開始，依序等距變大或變小。比方偶數數列2、4、6、8、10、12……，奇數數列1、3、5、7、9、11……，從第一項開始，往後都依序加2，都是等差數列。當然如果從100開始倒數：100、99、98、97、96、95……，這個數列從100開始往後依序減1，也是等差。

等差數列因為非常規律，所以很容易計算總和。大家應該都聽過這樣一個故事：據說數學王子高斯小時候上學時，有一次數學老師出了一道題目，請大家計算1加到100的和，結果高斯非常迅速的就算出結果5050，把老師嚇了一跳！高斯是怎麼算的？

他先寫出1＋2＋3＋……＋98＋99＋100的式子，然後在下方倒過來寫上100＋99＋98＋……＋3＋2＋1的式子，這時每一項上下的和都是101，共有100個101，所以兩個式子的總和是101×100＝10100，但這樣一來把1加到100算了兩次，所以要除以2，10100÷2，得到5050。

把上面的算法寫得簡潔一點就是

，所有等差數列都可以這樣算出總和，寫成公式是：

總和＝

。高斯小小年紀就能自己想出這樣的方法來快速計算等差數列總和，只能說真的是數學史上的天才啊！

有沒有覺得這個求和公式和小學學的梯形面積公式：

面積＝很像？如果把等差數列的第一項看成梯形上底，末一項看成梯形下底，總項數看成梯形的高，那兩個公式不是完全相同嗎？數學很多地方是有共通性的，大家學得愈多，就愈能體會這個道理喔！

1 ＋ 2 ＋ 3 ＋……＋98 ＋99 ＋100

100＋99 ＋98 ＋……＋ 3 ＋ 2 ＋ 1

101＋101 ＋101 ＋……＋101 ＋101 ＋101

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