【天南地北聊數學】 珍奇的六角幻方

文/維尼老師  |2022.07.07
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圖/River
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文/維尼老師 

幻方的英文名字叫做「Magic Square」,意思是「魔術方陣」,中國古代則稱為「縱橫圖」。相傳在大禹治水的時候,黃河躍出一匹龍馬,背上馱著一幅圖,人稱「河圖」;而洛水裡則浮出一隻神龜,龜背上有一張象徵吉祥的圖案,叫做「洛書」。人們發現,洛書圖案上的每一行、每一列以及對角線,三個數字加起來都相等(等於15),這就是我們現在所說的「幻方」。其實不管中外,幻方都被當成一種神奇的東西,具有驅魔辟邪的功用,也多少抹上一些神話色彩。

千百年來,數學家和數學愛好者對幻方做了深入的研究,對於這類n×n的方形幻方有了相當程度的了解,也得到許多成績。不過除了標準的方形幻方之外,歷史上很多人也研究並構建了許多其他形狀的幻方,像是圓形(幻圓)或是下面介紹的這個六角幻方(其實應該稱為「幻六角」)。

這個六角幻方的來歷很曲折,20世紀初,美國有位叫做亞當斯的年輕人,他對幻方非常著迷並潛心研究。1910年時,他突然想到能否在下圖的六邊形中排入1~19的數字製造出一個幻方?也就是讓每條直線上的總和都相等?

從1910年開始,他利用自己閒暇時間,不斷的嘗試,遭遇無數挫折與失敗,從青春少年變成白髮老人,花了幾乎半世紀的時間,直到1957年才終於如願以償得到完美的結果,排出了六角幻方,並記錄在一張紙上,視若珍寶。沒想到命運之神開了個玩笑,沒多久這張紙竟然不見了,怎樣也找不到。亞當斯懊悔之餘仍打起精神,再花了5年時間,終於在1962年12月,又重新填出了六角幻方!大家可以檢驗一下,水平線、左斜線、右斜線上的總和都等於38。比方水平線:14 + 8 + 4 + 12 = 38、9 + 6 + 5 + 2 + 16 = 38,左斜線:15 + 14 + 9 = 38、12 + 2 + 7 + 17 = 38,右斜線:13 + 4 + 2 + 19 = 38、9 + 11 + 18 = 38。

這個六角幻方除了見證了亞當斯驚人的毅力之外,更神奇的是,六角幻方就這一個,格數更少或更多的六角幻方都不存在,而19格的六角幻方也只有亞當斯發現的這唯一一種排法。若說亞當斯此生就是為了這個六角幻方而誕生,也毫不為過啊!

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