文／維尼老師

韓信是漢朝開國大將，幫助劉邦打敗項羽，取得天下。漢朝建立後，因為很多因素，劉邦想除掉韓信，可是韓信驍勇善戰，兵多將廣，劉邦不太敢輕舉妄動。

有一次劉邦問韓信，你有多少士兵？韓信不直接回答，卻故弄玄虛的說：「我的士兵不知道有多少人，三個三個一數，剩下兩個；五個五個一數，剩下三個；七個七個一數，剩下兩個。」劉邦聽了一頭霧水，還是不知道韓信到底有多少士兵。

這種要估算總數的問題，關鍵在於餘數，一般在中小學遇到的題目有兩種：一種是幾個一數都剩一樣多——餘數相同；另外一種是幾個一數都缺一樣多——不足數相同。這兩種題目解法很簡單，找到適當的公倍數，加上餘數或減去不足數就可求得答案。但是，不管同餘或同不足，都只能算是特例，通常生活中遇到的例子，餘數並不會這麼有規則，往往不同數量一數，餘數並不全然相同，這時上面的簡單方法就失效了，那怎麼辦呢？

這類問題，傳統上把它叫做「韓信點兵」、「秦王暗點兵」、「鬼谷算」、「隔牆算」、「剪管術」、「神奇妙算」、「大衍求一術」等，名稱很多，但指的都是計算總數時，餘數不一的情況。這個問題最早出現在南北朝的《孫子算經》中，這一本書是中國著名的數學著作，共分三卷，下卷的第26題「物不知數」說道：「今有物，不知其數。三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二。問：物幾何？答曰：二十三。」用白話來說就是：「現在有一堆東西，不知道幾個，3個一數剩下2個，5個一數剩下3個，7個一數剩下2個，請問這堆東西的數量是多少呢？答案是23個。」

書中給出解這類問題的基本原則：「凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五。一百六以上（≧106），以一百五減之（減去105），即得。」意思就是：「如果3個一數剩1個，就擺上70；5個一數剩1個，就擺上21；7個一數剩1個就擺上15。加起來在106以上，就減去105（減完還是超過106就再減105）。」

而針對上述問題的解法則是「三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七之數剩二，置三十。併之得二百三十三。以二百一十減之，即得。」因為原則是「三三數之剩一則置七十」，而題目中「三三數之剩二」，所以擺上70的2倍也就是140，依此類推。

如果把要求的總數設為x，那麼「韓信點兵」的解法用數學式子來表示就是：

x=70×2+21×3+15×2-105×2

x=140+63+30-210

x=23

23是這道問題的最小整數解。為了幫助記憶解法中70、21、15、105這幾個數，明朝的程大位在《算法統宗》一書中，把它們及解答編成歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。

像這類韓信點兵的問題，中國人最早研究並提出解法，遙遙領先歐洲的數學家，因此現在大家都把它稱為「中國剩餘定理」，以紀念中國數學家在這方面的成就。