【天南地北聊數學】世足賽聊足球

文/維尼老師 |2022.12.08
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圖/維尼老師
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文/維尼老師

四年一度的世界盃足球賽在卡達如火如荼的進行,每天的戰況牽動著全世界足球迷的心。在世界風行的運動當中,足球迷的狂熱與激情應該沒有其他運動可以相比吧!

足球運動的焦點當然是踢球的球員,但別忘了真正的主角——足球。大家印象中的足球應該是黑白相間的模樣,但其實在1970年之前,世界盃所用的足球看起來就是一顆大皮球,直到1970年墨西哥世界盃,運動廠商才設計了首款黑白相間的足球,稱為「電視之星」,並一舉成為世人心中足球的標準模樣。現在來仔細端詳一下:

足球上的黑色是正五邊形,而白色則是等邊長的正六邊形;黑色的外圍是五塊白色,但白色外圍則是黑、白各3塊。現在有趣的問題來了,根據本文的足球圖案排列組合方式,能否算出上面究竟有幾塊黑色正五邊形?幾塊白色正六邊形?

先假設黑、白色各有x、y塊,因為每塊黑色的周圍有5塊白色,所以白色數量是5x;但是因為每塊白色的周圍有3塊黑色,也就是每塊白色都算了3次,所以5x必須再除以3。根據推論,得到的白色數量是 y=5x/3,即5x=3y。

如果不知道黑、白任一種的數量,根據5x=3y,可以推算出可能數量:

x(黑色正五邊形) 3 6 9 12 15

y(白色正六邊形) 5 10 15 20 25

你覺得哪一組才對呢?答案是黑12、白20,也就是黑色足球上面總共有32塊正多邊形。

黑白足球上正五邊形與正六邊形的這種組合,並非運動廠商新創,它在古希臘時代便已出現,在幾何上叫做「截角正二十面體」。奇怪?不是總共32塊,怎會是20面?

那是因為古希臘人發現可以用20個相同的正三角形,組成一個正二十面體(如下圖左),正二十面體共有12個頂點,阿基米德發現:如果取適當的邊長,將12個頂點截去,就會產生12個正五邊形,而原本20個正三角形也會變成等邊長的正六邊形(如下圖右)。

也就是說,這個圖形是截去12個尖角的正二十面體,叫做「截角正二十面體」也就合情合理了!

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