幾個砝碼才夠稱

文/鍾邦友 |2022.05.25
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圖/樹下繪本

文/鍾邦友

那天融融到專賣度量衡的商店買天平,到店裡一問,才知道砝碼的價錢高得嚇人,他想要測出1到13英磅的各種重量,如果13個全買,帶的錢一定不夠。可是這家專門店又離家非常遠,實在不想再跑一趟,正在苦惱時,店家老闆告訴他,其實不見得要全部買,因為天平有左右兩邊的稱盤,一邊放砝碼,一邊放要稱的物件,我們也可以在置物的盤上同時放砝碼和物件,並應用加減法,來製造更多不同的稱重重量,問題是這要怎麼達成呢,且融融最少需買幾個砝碼?

加減運算 左右對稱



這個問題是法國數學家梅齊里亞克(Bachet de Meziriac)在1581-1638年曾提出一個有名的趣味數學問題,他描述某位商人有一塊重40磅的砝碼,不小心跌落地面碎裂成4塊,後來稱得每塊碎片的重量皆為整數,且可以用這4塊砝碼碎片,放在天平上稱1到40磅之間任意整數磅重的物件,那這4塊砝碼碎片應各重多少磅?

對於這類的問題,我們可以先從比較簡單的情況來分析,假設砝碼原重量4磅且只碎成2塊時,是否能稱出所有1-4磅的重量?

此時若碎片分別是1、3磅這兩種重量時,就可以在砝碼盤放3磅的砝碼,另一邊放1磅的砝碼及物件,便可以3-1=2的運算,得出物件是2磅的重量;砝碼盤上同時放入1磅及3磅的砝碼,即可經由3+1=4的運算,得出4磅的重量。

趣味數學 換你算算



其次複雜度再高一點的是13磅,此時則必須是裂為3塊,重量分別是1、3、9磅,我們也可以依樣畫葫蘆,經由3-1=2、3+1=4、9-3-1=5、9-3=6、9+1-3=7、9-1=8、9+1=10、9+3-1=11、9+3=12及9+3+1=13的運算,得出1~13磅的重量。也說是融融只要買1、3、9磅這三個砝碼就夠了。

如果是梅齊里亞克的問題,則重量分別是1、3、9、27磅的4塊砝碼碎片,換你來試試看,要如何組合出1~40磅的所有重量?

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