皮克定理教你算多邊形面積

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文／檸檬 2023-04-03

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圖／yapei

文／檸檬

我們都知道計算長方形面積是長×寬、三角形面積是（底×高）／2、梯形面積是（上底＋下底）×高／2……不過，如果是凸多邊形或是其他不規則多邊形的面積呢？例如圖中的愛心、星星該怎麼計算面積呢？

簡單歸納成立定理

這得說到奧地利數學家喬治‧亞歷山大‧皮克（Georg Alexander Pic），他所提出的「皮克定理」，可以幫助我們計算這些不規則面積。皮克出生在維也納，最著名的定理是關於計算不規則面積的皮克定理，據說這個定理是皮克在某次旅行的時候，看到了一張鐵路地圖，他發現地圖上有很多小方塊，這些小方塊代表不同的地點，因而聯想到正方形格點和面積間的關係，他開始思考其間的關係。最後，他在1899年發表的一篇文章中寫下這個定理，但當時他並沒有意識到它有多重要，直到詩坦豪斯（Hugo Dyonizy Steinhaus）將這個定理寫入自己在1969年版的著作時，才廣為人知，且該定理被譽為有史以來最重要的100個數學定理之一。

而皮克定理是什麼呢？皮克定理：只要是頂點坐標在格子點上，或是頂點數為整數的多邊形，如果多邊形內部的格子點數為i、多邊形邊上的格子點數為b，那麼這個多邊形的面積A可以寫為A＝i＋b/2－1。感覺似乎很簡單，大家可以實際畫幾個簡單的形狀測試看看，是不是真的。

不規則形照算面積

圖上是一塊有著格子點的大黑板，黑板上有兩個多邊形，一個是愛心，一個是星星，如果不靠皮克定理，要計算出兩個多邊形的面積，必須藉由把一塊面積分成好幾塊小塊面積，最後加總起來，才能算出這兩個多邊形的面積。但是如果藉由皮克定理，我們可以較容易計算出它們的面積，例如上方的愛心面積，愛心內部的格子點數i＝144，愛心邊上的格子點數b＝32，依據皮克定理，愛心的面積A＝143＋28/2－1＝157。這樣的方法是不是很簡單呢？

那麼換個形狀呢？黑板上還有另一個星星，小朋友也可以試看看用剛剛的方法找出星星的面積。那麼，或許會有人說，如果以「畢氏定理」就可以求得這些多邊形的面積，我們為什麼要學習皮克定理呢？一個能被流傳下來的數學定理，除了定理本身的便利性，還有本身的推廣性。例如這個皮克定理，可以推廣到更多的多邊形，例如我們可以在格子點紙張上畫條鱷魚，或是畫張兔年的應景的兔子，如果利用一般的面積求法和畢氏定理一樣可以求得面積，但是皮克定理則可以更快速的算出面積。此外，皮克定理還可以推廣到不同地方，例如歐拉公式、七橋問題甚至是三維空間的多面體唷！

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