從埃及三角形看畢氏定理

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文／檸檬 2023-02-10

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圖／樹下繪本

文／檸檬

約在西元前2000年，古埃及人早已創造出一套自己的數字系統，和關於三角形、金字塔的幾何概念。有歷史紀錄記載他們獨特的直角三角形繪製方法，他們會利用12單位長的繩索，圍成一個邊長比3：4：5的三角形，而在這個面積為6平方單位的直角三角形裡，最長的邊為6，而對著這個邊的角即為直角，埃及人稱這樣的三角形為「埃及三角形」（Egyptian triangle），可以展示最簡單形式的「畢達哥拉斯定理」（Pythagorean theorem)又稱畢氏定理、勾股定理或商高定理。

直角三角外延正方

而什麼是「畢達哥拉斯定理」呢？有一個直角三角形，若邊長分別是a，b，c，其中a＜b＜c，則必定滿足此等式a2+b2＝c2。能符合此定理的數就被稱為畢氏三元數（或是畢達哥拉斯三元數）。而這個定理還有另一個有趣的名字——百牛定理，咦？和牛有什麼關係呢？據說，畢達哥拉斯證明了這個定理後欣喜若狂，便叫他的學生們宰了100頭牛，用來大肆慶祝。因此，這個定理也被暱稱為「百牛定理」。這個定理較簡單之一的證明可以詳見下圖，分別以這個三角形的三個邊長向外做出三個正方形，即可發現a2+b2＝c2。

不過，這個定理可不是畢達哥拉斯最早發現的，古巴比倫人應該先於畢德哥拉斯發現這個關係式。紐約的一名出版商普林頓（George Arthur Plimpton）在1922年買下一塊古巴比倫楔形文字泥板—— P322泥板，販售泥板的商人告訴普林頓，泥板來自伊拉克南部一個考古遺址，該處古時稱為拉爾薩（Larsa）。這塊泥板看來就是一個立起來的正方形，在泥版上以六十進位制記錄了10組以上的畢氏三元數。因此說約在西元前1700年前，古巴比倫人就知道了畢氏定理，應不為過。

史有前例中西均有

然而，不僅在古巴比倫，古代中國的數學家可能也已知道這個定理，西周初期的數學家商高，在西元前1000年發現「勾股定理」的一個特例，勾三，股四，弦五（也就是本文一開始提到的埃及三角形），此發現比畢達哥拉斯定理的出現早約500到600年。而勾股定理也被稱為商高定理，之所以稱為勾股定理，是因為中國早期的數學家將直角三角形稱為勾股形。

綜上所述，不管名稱為何，我們都可以得知畢氏定理的重要性，這不僅是數學上的有趣定理，從設計、建築、天文、地理甚至到車子上的導航，畢氏定理被廣泛的應用在各種不同的領域。舉個例子來說，小華想搭蓋一座城堡，城堡的柱子必須和地面呈現直角才能穩固，那麼我們隨處可見的偉大建築就更離不開畢氏定理的應用了。不過，符合畢氏定理的三個數可不是只有文中提到的3、4、5唷，埃及三角形也僅是眾多直角三角形中一個簡單的有趣範例，大家也可以嘗試思考，在哪裡還能發現更多的畢氏定理應用？或是找出更多的畢氏三元數唷！

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