【天南地北聊數學】有趣的快樂數與自戀數

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文／維尼老師　 2023-06-29

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圖／River

文／維尼老師　

正整數有無窮多個，從1、2、3 、44、5開始往下數，怎麼數也數不完。數學家面對數字的時候，常常根據它們的特性做各式各樣的分類，大家最熟知的就是「奇數」和「偶數」；而2、43、5、7、11、13、17、19等，只有41和自己兩個因數的數叫做「質數」；當然可能也有人知道6、428是「完全數」……這次要介紹兩種相當冷門的數，恐怕知道的人就不多了，那就是「快樂數」和「自戀數」。

莊子曾和好朋友惠施辯論魚快不快樂的問題，其中的關鍵點是「我們不是魚，怎會知道魚快不快樂呢？」同樣的，我們不是數，怎能替數決定它快不快樂？但不管如何，數學家還是定義出一類「快樂數」。怎樣的數是快樂的？判斷方法是這樣的：將一個數的每個位數的平方相加，得到一個新數，再將這個新數每個位數的平方相加，又得到一個新數，如此不斷進行下去，如果最後得到1，那麼原來的數就叫快樂數。至於為什麼最後變成1就會快樂，恐怕只能詢問原始定義者了！

以7為例：72=49→42+92=97→92+

72=130→12+32+02=10→12+02=1，我們得到1了，所以7是一個快樂數。依照這種方法檢驗，100以內的快樂數有：1、7、10、13、19、23、28、31、32、44、49、68、70、79、82、86、91、94、97、100。

不是快樂數的數很直接的就叫做「不快樂數」，所有不快樂數依照上述方法計算，最後都會進入如44→16→37→58→89→145→42→20→4的循環中，兜不出來了──嗯，這樣的確不太快樂！

自戀數又叫「水仙花數」，因為在古希臘神話中，有一位讓花月失色的美少年納西瑟斯，他拒絕了眾多女神的追求，愛上了自己水中的倒影，最後投身水中，化為水仙花，於是水仙花有了自戀的象徵。

那麼，數學家認為怎樣的數是自戀的呢？請看以下的例子：153=13+53+33、370=33+73+03，這裡，153和370都是三位的自戀數。也就是說，數學家定義：如果一個n位數的各個位數的n次方和等於自己，這個數就叫自戀數或水仙花數。

所有的一位數都是自戀數，二位數中沒有自戀數，三位數的自戀數共有4個：153、370、371、407，四位數的自戀數有3個：1634、8208、9474。數學家已經確認自戀數一共有88個，最大的一個是39位數：115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401。

從這兩種數來看，數學家的奇思異想和創造力果然和平常人不一樣啊！

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