【天南地北聊數學】五角星中的數學

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文／維尼老師　 2023-11-09

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圖／River

文／維尼老師　

生活中有很多幾何圖形，尤其像正方形、長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形等，更是大家從小在數學課裡就開始接觸，對於計算它們的長度、角度、面積的公式和方法，相信都不陌生。不過，有一個圖形，除了上述幾何性質之外，還具有數學以外的意義，甚至很多國家的國旗上也出現了它，這個圖形就是五角星（也稱五角星）。

古埃及、古巴比倫和古代歐洲的塞爾特人，都將五角星作為與冥界相關的符號；而在希臘神話中，五角星則是大地女神的象徵。神話以外，據說畢氏學派也崇拜五角星，並作為畢氏學派的標幟，認為它會為人們帶來健康與幸福。五角星之所以受到堅信「萬物皆數」的畢氏學派的推崇，除了畢氏學派本身就具有神祕主義色彩之外，相信也是因為這是一個相當完美的圖形。首先，五角星具有線對稱性，它有五條對稱軸，給人一種平衡安定感；另外，五角星還具有旋轉不變性，繞著中心旋轉，與原圖形相同。最特別的是，五角星中藏了其他圖形所沒有的特徵——黃金比例。

黃金比例是什麼呢？如下圖線段中，＝1、＝x（x>1），且滿足:＝:，也就是（x+1）:x＝x:1，那麼這個比的比值（），就稱為黃金比例，以希臘字母（英語發音[]）表示，而x大約等於1.618，這就是黃金比例的值。而在五角星中，就處處可見黃金比例，如右圖。

在五角星中還藏著一種特殊三角形——黃金三角形。所謂黃金三角形就是頂角36°、底角72°的等腰三角形，它的腰長與底邊長的比，剛好就是黃金比例。五角星外圍的五個三角形（如△EBC）都是黃金三角形；若在五角星外面再圍上一個正五邊形，那麼可以找到的黃金三角形就更多了，大家試著找找唷！

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